EQUAZIONE FRATTA PARAMETRICA

Questa è un'equazione parametrica fratta perché al denominatore sono presenti termini con la x ed in più è presente un parametro

Osserviamo che dei due denominatori uno è scomponibile. Procediamo quindi a scomporre il secondo denominatore e ad individuare il mcm.

mcm tra e  

Prima di semplificare i denominatori dobbiamo individuare il Campo di Esistenza

ora, dopo aver semplificato i denominatori e reso l’equazione intera, isoliamo la x

\[ 3a+3x+3a=(3x-3)(a+1) \]

\[ 3a+3x+3a=3ax+3x-3a-3 \] trasferendo i termini in x a sinistra e i termini senza x a destra si ottiene \[ 3x-3ax-3x=-6a-3a-3 \] Semplificando si ha \[ -3ax=-9a-3 \] Moltiplicando ambo i membri per - e raccogliendo al secondo membro si ottiene \[ 3ax=3(3a-1) \] Quindi   \[ x=\frac{3(3a-1)}{3a} \] e semplificando il 3

\[ \color{red}{x=\frac{(3a-1)}{a}} \]

Discussione:

1. discutiamo il risultato in rapporto al CE ovvero andiamo a verificare se esistono valori del parametro che rendono e quindi inaccettabile per il CE. Per fare ciò poniamo

\[ \frac{(3a-1)}{a} = 1 \]

da cui \[ 3a-1 = a \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} 3a-a = 1 \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} 2a=1 \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} a=\frac{1}{2} \]

quindi per  \( a=\frac{1}{2} \)  l’equazione risulta impossibile

2. ora discutiamo il coefficiente della x nel penultimo passaggio, ovvero andiamo a verificare se per qualche valore del parametro si annulla (cosa non permessa in quanto diventa denominatore). E' evidente che ciò avviene per \( a=0 \)

sostituendo questo valore al risultato avremo \( x= -\frac{1}{0} \)  quindi l’equazione risulta impossibile

riassumendo

per \( a=\frac{1}{2} \) l’equazione risulta impossibile (CE)

 per  \( a=0 \) l’equazione risulta impossibile (coefficiente della x)

 per  \( a \neq \frac{1}{2} \wedge  a\neq 0 \) l’equazione è determinata ed ha come risultato \( \color{red}{x=\frac{(3a-1)}{a}} \)