SCOMPOSIZIONI

Di seguito verranno illustrati i procedimenti risolutivi possibili per ottenere la scomposizione di alcuni polinomi. Verrà illustrato come un polinomio dato possa essere trasformato in prodotto di termini primi, ovvero non più scomponibili.

Si ricorda che questa azione è molto importante per l'individuazione del Dominio o Campo di Esistenza nei denominatori delle frazioni algebriche e per poter semplificare le frazioni algebriche.

Prima di iniziare ricordiamo che è buona pratica, per aiutarsi nella scomposizione, avere presente una scaletta di metodi che vanno provati sequenzialmente e ricorsivamente. I passi da seguire sono:

1. Raccoglimento totale
2. Raccoglimento parziale
3. Prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo del trinomio)
4. Trinomio speciale
5. Ruffini

Gli esercizi proposti sono stati presi da un lavoro effettuato da alcuni studenti.

1)  Scomporre il polinomio  \( 2a^2 - 2ax + 3(a-x)^2 - a + x \)

La prima cosa da osservare è che il polinomio in questione è composto da 5 elementi

 \[
\left.
\begin{aligned}
2a^2 \\
- 2ax \\
+ 3(a-x)^2 \\
- a \\
+x
\end{aligned}
\right.
\]

Seguendo la scaletta proposta, non essendoci termini comuni a tutti gli elementi per effettuare un raccoglimento totale, passiamo ad effettuare un raccoglimento parziale. Raccogliamo quindi l'elemenro a tra il primo e il quarto termine ottenendo

\[ a(2a-1) \]

poi raccogliamo -x tra il secondo e il quinto elemento ottenendo

\[ -x(2a-1) \]

avremo quindi

\[ a(2a-1) - x(2a-1) + 3(a-x)^2 \]

ora raccogliamo nuovamente rispetto ai primi due termini il termine comune (parziale) \( 2a-1 \)

\[ a(2a-1) - x(2a-1) \]

ottenendo \[ (2a-1)(a-x) \]

Il polinomio di partenza ora è diventato \[ (2a-1)(a-x) + (3(a-x)^2 \]

A questo punto possiamo raccogliere il termine comune \( (a-x) \), presente nei due termini che compongono il polinomio, e ottenere \[ (a-x)(2a-1+3(a-x))  = (a-x)(2a-1+3a-3x) = (a-x)(5a-1-3x) \]

Abbiamo così ottenuto la scomposizione del polinomio di partenza, \[ 2a^2 - 2ax + 3(a-x)^2 - a + x = \color{red}{(a-x)(5a-1-3x)} \] ovvero siamo passati da da una somma di termini ad un prodotto di termini. I termini che si moltiplicano sono termini primi ovvero non più scomponibili.

Allo stesso risultato saremmo pervenuti se avessimo raccolto 2a tra iprimi due termini e il segno tra gli ultimi due. Così facendo infatti avremmo ottenuto \[ 2a(a-x)+ 3(a-x)^2 - (a - x) \] Ora si può osservare che il polinomio si è modificato essendo formato da tre termini con il binomio \[ (a-x) \] comune a tutti e tre i termini. Si procede quindi a raccogliere a fattore comune \[ (a-x) \] ottenendo così \[ (a-x)(2a + 3(a-x) - 1) = (a-x)(2a+3a-3x-1) = \color{red}{(a-x)(5a-3x-1)} \] ovvero lo stesso risultato precedentemente ottenuto

2) Scomporre il polinomio \( 4a^2+9b^2-c^2-12ab \)

Dopo aver osservato attentamente il polinomio si può escludere la possibilità di effettuare sia il raccoglimento totale perché non c'è nessun termine comune a tutti gli elementi del polinomio, sia il raccoglimento parziale, infatti se raccogliessimo il termine in a otterremmo un polinomio con tre termini che non hanno nulla in comune tra loro, se raccogliessimo il termine in b otterremmo ancora una volta un polinomio con tre termini che non hanno nulla in comune tra loro.

Passiamo quindi, in base alla scaletta proposta, a cercare di individuare lo sviluppo di un prodotto notevole oppure all'interno del polinomio la presenza dello sviluppo di un prodotto notevole.

Considerando che quattro termini possono essere solo lo sviluppo del cubo del binomio, possiamo escludere che nel nostro caso il polinomio rappresenti tale sviluppo dato che non sono presenti i due cubi.

Si può notare, però, che i tre termini \( 4a^2+9b^2-12ab \) rappresentano lo sviluppo del quadrato di un polinomio. Contemporaneamente si può osservare che il termine non considerato  è un quadrato con segno negativo.

Considerando il quadrato derivante dai tre termini appena individuati e l'altro termine al quadrato con segno negativo possiamo pensare di trasformare il polinomio di partenza in una differenza di quadrati e quindi scomporlo come prodotto notevole: differenza di due quadrati.

Ricapitolando e svolgendo i passaggi

individuo all'interno del polinomio tre termini che rappresentano lo sviluppo di un binomio al quadrato \( 4a^2+9b^2-12ab = (2a-3b)^2 \)

otteniamo quindi una prima modifica del polinomio \( 4a^2+9b^2-c^2-12ab =  (2a-3b)^2-c^2 \)

Ora usando il prodotto notevole differenza di due quadrati avremo \( (2a-3b)^2-c^2 = \color{red}{(2a-3b+c)(2a-3b-c)} \)

Abbiamo ottenuto così la scomposizione del polinomio di partenza in un prodotto di due termini primi.