SCOMPOSIZIONI

Di seguito verranno illustrati i procedimenti risolutivi possibili per ottenere la scomposizione di alcuni polinomi. Verrà illustrato come un polinomio dato possa essere trasformato in prodotto di termini primi, ovvero non più scomponibili.

Si ricorda che questa azione è molto importante per l'individuazione del Dominio o Campo di Esistenza nei denominatori delle frazioni algebriche e per poter semplificare le frazioni algebriche.

Prima di iniziare ricordiamo che è buona pratica, per aiutarsi nella scomposizione, avere presente una scaletta di metodi che vanno provati sequenzialmente e ricorsivamente. I passi da seguire sono:

1. Raccoglimento totale
2. Raccoglimento parziale
3. Prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo del trinomio)
4. Trinomio speciale
5. Ruffini

Gli esercizi proposti sono stati presi da un lavoro effettuato da alcuni studenti.

1)  Scomporre il polinomio  \( 12x^3+9x^4-5x^2-4-12x \)

Iniziamo con l'osservare che il polinomio in questione è composto da 5 elementi. Da una prima analisi si evince che non ci sono elementi che permettano di effettuare un raccoglimento totale. Anche il raccoglimento parziale non dà possibilità di proseguire nella scomposizione (i termini sono in numero dispari, si suggerisce comunque di provare a raccogliere sia per \( x \), sia per \( 12 \), sia . . . per quello che preferite per verificare l'impossibilità di procedere). Passiamo quindi a verificare se il polinomio in oggetto possa essere lo sviluppo di un polinomio a noi noto. Essendo composto da 5 termini il polinomio potrebbe non appartiene a nessuno sviluppo dei prodotti notevoli da noi affrontati. Non può essere, evidentemente, neppure un trinomio notevole.

Rimane solo da verificare se sia possibile scomporre il polinomio applicando Ruffini. I passi da seguire per usare il metodo di Ruffini sono

• Ordinare il polinomio in modo discendente
• Completare il polinomio (ovvero aggiungere uno zero per ogni termine incognito mancante; es \( x^3 -5 \), mancano i termini in \( x^2 \) e \( x \), quindi completato diventa \( x^3 +0x^2+0x-5\))
• Individuare le possibili radici intere o frazionarie

Iniziamo con l'ordinare il polinomio \[ 9x^4+12x^3-5x^2-12x-4 \] Verifichiamo che sia completo altrimenti lo completiamo. In questo caso il polinomio é completo.

Passiamo ora ad individuare le radici:

• le radici intere si ottengono dai divisori interi del termine noto \( 4 \), Quindi nel nostro caso saranno \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \)
• le eventuali radici frazionarie si potrebbero avere se fosse presente il coefficiente del termine di grado maggiore. Mel nostro caso il coefficiente esiste, é \( 9 \). Le radici frazionarie si ottengono dividendo le radici intere per i divisori interi di tale coefficiente \( \pm 1, \pm 3, \pm 9 \). Per il nostro polinomio quindi saranno \( \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm \frac{4}{1}, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9} \) che diventano , \( \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9} \)

Una volta individuate le radici si passa a sostituirle nel polinomio, alla sua incognita, per verificare se sommandone i termini si ottenga come risultato zero. Il risultato zero mi assicura che la radice provata è una radice del polinomio (ovvero un valore che lo annulla) del polinomio.

Procediamo con le verifica

sostituisco \( -1 \Rightarrow 9 \cdot (-1)^4 + 12 \cdot (-1)^3 - 5 \cdot (-1)^2 - 12 \cdot (-1) - 4 = 0 \), \( -1 \) é una radice

sostituisco \( +1 \Rightarrow 9 \cdot 1^4 + 12 \cdot 1^3 - 5 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 - 4 = 0 \), \( +1 \) é una radice

sostituisco \( -2 \Rightarrow 9 \cdot (-2)^4 + 12 \cdot (-2)^3 - 5 \cdot (-2)^2 - 12 \cdot (-2) - 4 = 48 \), \( -2 \) non é una radice

A questo punto ho individuato due delle tre possibili radici ( il polinomio è di terzo grado e quindi se siamo fortunati si scompone in tre termini di primo grado).

Tralasciamo le altre verifiche e procediamo ad applicare il metodo di Ruffini. Riportiamo i coefficienti del polinomio e la radice trovata nel grafico sottostante

\begin{array}{c|cccc|c}
& 9 & 12 & -5 & -12 & -4 \\
-1 & & & & & \\
\hline
& & & & \\
\end{array}

Ora procediamo abbassando il primo coefficiente \( 9 \) (immaginiamo di averlo sommato al valore sottostante che non essendo presente possiamo supporre essere \( 0 \), quindi \( 9+0=9 \)) sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|cccc|c}
& 9 & 12 & -5 & -12 & -4 \\
-1 & & & & &\\
\hline
& 9 & & & \\
\end{array}

Quindi si moltiplica il valore posto in basso per la radice ottenendo  \( -1 \cdot 9 = -9 \) e si scrive il valore così ottenuto sotto al secondo coefficiente

\begin{array}{c|cccc|c}
& 9 & 12 & -5 & -12 & -4 \\
-1 & & -9 & & & \\
\hline
& 9 & 3 & & & \\
\end{array}

Si ripete l'azione precedente: si somma il secondo coefficiente con il termine sottostante e il risultato è posto sotto la linea orizzontale \( 12 - 9 = 3 \), poi si moltiplica il valore posto in basso per la radice ottenendo  \( -1 \cdot 3 = -3 \) e si scrive il valore così ottenuto sotto al terzo coefficiente

\begin{array}{c|cccc|c}
& 9 & 12 & -5 & -12 & -4 \\
-1 & & -9 & -3 & & \\
\hline
& 9 & 3 & -8 & &\\
\end{array}

Si ripete l'azione precedente: si somma il terzo coefficiente con il termine sottostante e il risultato è posto sotto la linea orizzontale \( -5 - 3 = -8 \), poi si moltiplica il valore posto in basso per la radice ottenendo  \( -1 \cdot -8 = 8 \) e si scrive il valore così ottenuto sotto al quarto coefficiente

\begin{array}{c|cccc|c}
& 9 & 12 & -5 & -12 & -4 \\
-1 & & -9 & -3 & 8 & \\
\hline
& 9 & 3 & -8 & -4 &  \\
\end{array}

Si ripete l'azione precedente: si somma il quarto coefficiente con il termine sottostante e il risultato è posto sotto la linea orizzontale \( -12 +8 = -4 \), poi si moltiplica il valore posto in basso per la radice ottenendo  \( -1 \cdot -4 = 4 \) e si scrive il valore così ottenuto sotto all'ultimo coefficiente

\begin{array}{c|cccc|c}
& 9 & 12 & +5 & -12 & -4 \\
-1 & & -9 & -3 & 8 & 4\\
\hline
& 9 & 3 & -8 & -4 & 0 \\
\end{array}

La somma algebrica degli ultimi due valori deve sempre fare \( 0 \). Se così non fosse o si é  sbagliato un calcolo nei passaggi precedenti o quando si è cercata la radice, in pratica si devono rifare attentamente i calcoli.

Quello che si è ottenuto è l'insieme dei coefficienti di un polinomio di un grado inferiore al polinomio di partenza. Nel nostro caso quindi partendo da un polinomio di grado \( 4 \) otteniamo i coefficienti di un polinomio di grado \(3 \). Costruiamo ora il polinomio cercato con i coefficienti ottenuti. Otteniamo così \( 9x^3+3x^2-8x-4 \). Questo polinomio, moltiplicato per il binomio costruito con incognita meno radice, ovvero \( (x- (-1)) = (x+1) \), ci darà il polinomio di partenza. In pratica abbiamo ottenuto una prima scomposizione del polinomio di partenza. \[ 9x^4+12x^3-5x^2-12x-4 \quad= \quad (9x^3+3x^2-8x-4)\cdot (x+1) \] Ora avendo un polinomio di grado \(3 \) possiamo reiterare i procedimento appena visto per scomporre ulteriormente il polinomio.

Avendo già individuato una seconda radice \( 1 \) procediamo ad applicare Ruffini al polinomio di terzo grado \( 9x^3+3x^2-8x-4 \)

\begin{array}{c|ccc|c}
& 9 & 3 & -8 & -4 \\
1 & & & & \\
\hline
& & & \\
\end{array}

Ora procediamo abbassando il primo coefficiente \( 9 \) (immaginiamo di averlo sommato al valore sottostante che non essendo presente possiamo supporre essere \( 0 \), quindi \( 9+0=9 \)) sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccc|c}
& 9 & 3 & -8 & -4 \\
1 & & & & \\
\hline
& 9 & & \\
\end{array}

Quindi si moltiplica il valore posto in basso per la radice ottenendo  \( 1 \cdot 9 = 9 \) e si scrive il valore così ottenuto sotto al secondo coefficiente

\begin{array}{c|ccc|c}
& 9 & 3 & -8 & -4 \\
1 & & 9 & & \\
\hline
& 9 & 12 & & \\
\end{array}

Si ripete l'azione precedente: si somma il secondo coefficiente con il termine sottostante e il risultato è posto sotto la linea orizzontale \( 12 + 9 = 12 \), poi si moltiplica il valore posto in basso per la radice ottenendo  \( 1 \cdot 12 = 12 \) e si scrive il valore così ottenuto sotto al terzo coefficiente

\begin{array}{c|ccc|c}
& 9 & 3 & -8 & -4 \\
1 & & 9 & 12 & \\
\hline
& 9 & 12 & 4 &\\
\end{array}

Si ripete l'azione precedente: si somma il terzo coefficiente con il termine sottostante e il risultato è posto sotto la linea orizzontale \( -8+12 = 4 \), poi si moltiplica il valore posto in basso per la radice ottenendo  \( 1 \cdot 4 = 4 \) e si scrive il valore così ottenuto sotto al quarto coefficiente

\begin{array}{c|ccc|c}
& 9 & 3 & -8 & -4 \\
1 & & 9 & 12 & 4 \\
\hline
& 9 & 12 & 4 & 0\\
\end{array}

Come detto in precedenza la somma algebrica degli ultimi due valori deve sempre fare \( 0 \). Se così non fosse o si é  sbagliato un calcolo nei passaggi precedenti o quando si è cercata la radice, in pratica si devono rifare attentamente i calcoli.

Quello che si è ottenuto è l'insieme dei coefficienti di un polinomio di un grado inferiore al polinomio di partenza. Nel nostro caso quindi partendo da un polinomio di grado \( 3 \) otteniamo i coefficienti di un polinomio di grado \(2 \). Costruiamo ora il polinomio cercato con i coefficienti ottenuti. Otteniamo così \( 9x^2+12x+4 \). Questo polinomio, moltiplicato per il binomio costruito con incognita meno radice, ovvero \( (x- (1)) = (x-1) \), ci darà il polinomio di partenza. In pratica abbiamo ottenuto una scomposizione del polinomio . \[ 9x^3+3x^2-8x-4 \quad= \quad (9x^2+12x+4)\cdot (x-1) \] Inseriamo ora questa scomposizione al posto del polinomio di terzo grado che a sua volta é una parte del polinomio di partenza di \( 4 \) grado. Riassumendo abbiamo prima ottenuto una prima scomposizione \[ 9x^4+12x^3-5x^2-12x-4 \quad= \quad (9x^3+3x^2-8x-4)\cdot (x+1) \] che dopo la seconda scomposizione divente \[ 9x^4+12x^3-5x^2-12x-4 \quad= \quad (9x^3+3x^2-8x-4)\cdot (x+1) \quad= \quad (9x^2+12x+4)\cdot (x-1) \cdot (x+1) \] A questo punto abbiamo scomposto il polinomio di partenza di grado \( 4 \) in un polinomio di grado \( 2 \) e due polinomi di grado \( 1 \). In questo caso, osservando che il polinomio di secondo grado è il quadrato di un binomio, possiamo ulteriormente scomporre il polinomio ottenendo \[ 9x^4+12x^3-5x^2-12x-4 \quad= \quad  (9x^2+12x+4)\cdot (x-1) \cdot (x+1) = (3x+2)^2 \cdot (x-1) \cdot (x+1) \] una scomposizione completa (tutti i termini primi sono di primo grado).