SCOMPOSIZIONI

Di seguito verranno illustrati i procedimenti risolutivi possibili per ottenere la scomposizione di alcuni polinomi. Verrà illustrato come un polinomio dato possa essere trasformato in prodotto di termini primi, ovvero non più scomponibili.

Si ricorda che questa azione è molto importante per l'individuazione del Dominio o Campo di Esistenza nei denominatori delle frazioni algebriche e per poter semplificare le frazioni algebriche.

Prima di iniziare ricordiamo che è buona pratica, per aiutarsi nella scomposizione, avere presente una scaletta di metodi che vanno provati sequenzialmente e ricorsivamente. I passi da seguire sono:

1. Raccoglimento totale
2. Raccoglimento parziale
3. Prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo del trinomio)
4. Trinomio speciale
5. Ruffini

Gli esercizi proposti sono stati presi da un lavoro effettuato da alcuni studenti.

1)  Scomporre il polinomio  \( 2x^2+5x+3 \)

Iniziamo con l'osservare che il polinomio in questione è composto da 3 elementi. Da una prima analisi si evince che non ci sono elementi che permettano di effettuare un raccoglimento totale. Continuando l'analisi si constata che non è possibile neppure fare un raccoglimento parziale

(se raccogliessi la \( x \) rimarrebbe il \( +3 \) isolato e non più raccoglibile \( \Rightarrow \)  \( x(2x+5)+3 \)) ).

Passiamo quindi a vedere se sia possibile usare i prodotti notevoli per scomporre il polinomio dato. Dei quattro prodotti notevoli che conosciamo solo uno ha come sviluppo un trinomio: il quadrato del binomio. Nello sviluppo però dovrebbero essere presenti presenti due elementi al quadrato che qui non abbiamo.

Passiamo allora a verificare se possa essere un trinomio notevole. Perché sia un trinomio notevole deve essere un trinomio di secondo grado (e lo è) e devono esistere due valori \( x_{1} \; e \: x_{2} \) tali che se considerassimo un generico trinomio di secondo grado \[ ax^2+Sx+c  \] la somma di \( x_{1} \; e \: x_{2} \) deve essere uguale ad \( S \) e il prodotto di \( x_{1} \; e \: x_{2} \) deve essere uguale al prodotto di \( a \cdot c \) \[ S = x_{1} + x_{2} \] \[ a \cdot b =  x_{1} \cdot x_{2} \] Considerando il nostro trinomio quindi dobbiamo trovare due valori \( x_{1} \; e \: x_{2} \) tali che la loro somma sia uguale a \( 5 \) ( \( x_{1} +x_{2} = 5 \)) e il loro prodotto sia uguale a \( 6 \) ( \( x_{1} \cdot x_{2} = 6 \)). I due valori esistono e sono \[ x_{1} =3 \quad e \quad x_{2}=2 \] A questo punto sostituiamo il coefficiente \( 5 \) della \( x \) con \( 3+2 \) ottenendo così \[2x^2+(2+3)x+3 \quad = \quad 2x^2+2x+3x+3 \] ora possiamo raccogliere prima parzialmente \[ 2x(x+1)+ 3(x+1) \]e poi totalmente ottenendo la scomposizione cercata \[(x+1)(2x+3) \]

2)  Scomporre il polinomio  \( 2z^2+3kz-2k^2 \)

Questo esercizio è una variante del precedente.

Iniziamo con l'osservare che il polinomio in questione è composto da 3 elementi. Da una prima analisi si evince che non ci sono elementi che permettano di effettuare un raccoglimento totale. Anche il raccoglimento parziale non dà possibilità di proseguire nella scomposizione (si suggerisce di provare a raccogliere sia \( z \) che \( k \) per verificare l'impossibilità di procedere). Passiamo quindi a verificare se il polinomio in oggetto possa essere lo sviluppo di un polinomio a noi noto. Essendo composto da tre termini il polinomio potrebbe essere solo o lo sviluppo del quadrato di un binomio o, se di secondo grado, un trinomio notevole. Quello che si nota è che il polinomio è un polinomio di secondo grado ma non sono presenti due termini al quadrato dato che né \(2z^2 \) né \( -2k^2 \) sono dei quadrati (osservare il coefficiente 2 di \( z^2 \) che non è un quadrato e il segno meno davanti a \( 2k^2 \)). Proviamo quindi a scomporlo considerandolo un trinomio notevole. Per fare ciò ipotizziamo di assumere come variabile la lettera \( z \) e come parametro la lettera \( k \). In questo modo il termine con la variabile alla seconda sarà \( 2z^2 \), il termine con la variabile di primo grado sarà \( 3kz \) e il termine noto sarà \( -2k^2 \). Ricordiamo che per scomporre un trinomio notevole devo assumere che abbia l'aspetto seguente \[ax^2 + Sx + c \] La scomposizione che ne deriva ha la forma \[ (x+x_{1})(x+x_{2}) \] con \(x_{1} \, e \, x_{2} \) ottenuti assumendo che la somma di \( x_{1} \, e \, x_{2} \) è uguale ad \( S \) e il prodotto di \( x_{1} \, e \, x_ {2}\) è uguale a \( a \cdot c \). Ovvero \[ x_{1} + x_{2} = S \] \[ x_{1} \cdot x_{2} = a \cdot c \] dove \( S \) rappresenta la somma di due termini.

Considerando il nostro trinomio quindi dobbiamo trovare due valori \( x_{1} \; e \: x_{2} \) tali che la loro somma sia uguale a \( 3k \) ( \( x_{1} +x_{2} = 3k \)) e il loro prodotto sia uguale a \( -4k^2 \) ( \( x_{1} \cdot x_{2} = -4k^2 \)). I due valori esistono e sono \[ x_{1} =-k \quad e \quad x_{2}=4k \] A questo punto sostituiamo il coefficiente \( 3k \) della \( z \) con \( -k+4k \) ottenendo così \[2z^2+(-k+4k)z-2k^2 \quad = \quad 2z^2-kz+4kz-2k^2 \] ora possiamo raccogliere prima parzialmente \[ z(2z-k)+ 2k(2z-k) \]e poi totalmente ottenendo la scomposizione cercata \[(2z-k)(z+2k) \]